Teorema dos Resíduos e integrais de Cauchy… Quem sabe algo para a vida?

dezembro 12 2009 Fabrício Veliq 1 Comment

Photo by ThisisEngineering RAEng on Unsplash

Funções holomorfas são funções definidas no plano complexo e que são infinitamente deriváveis sobre o plano complexo. Porém nem todas funções são holomorfas em seus domínios. Por exemplo, integral da função:

$g(z)={z^2 over z^2+2z+2}$

$oint_C {g(z) dz} = oint_C {f(z) over z-a}, dz=2pi i*f(a)$

não é definida em todo plano complexo, uma vez que se z = -1+ i e -1-i essa integral sobre o disco fechado de raio = 2 fica com denominador igual a zero e como não há divisão por zero, a função fica indefinida. Toda vez que isso acontece chamamos -1+i e -1-i de pontos de singularidades.
Para resolver problemas desse tipo, houve um matemático chamado Cauchy que provou que essa integral pode ser calculada uma vez que podemos considerar pequenos círculos em torno dessas singularidades pelo Teorema de Cauchy-Goussart. A fórmula para o cálculo dessa integral com somente um ponto de singularidade dentro do domínio é da forma:

onde f(z) é holomorfa. Dessa forma, para calcular o valor da integral sobre esse círculo de raio 2, basta fazer a multiplicação de 2pi * i * f(a) onde a é o ponto de singularidade. Um exemplo desse cálculo pode ser observado no exemplo abaixo:

$begin{align}oint_C {z^2 over z^2+2z+2},dz &{}= oint_{C_1} {left({z^2 over z-z_2}right) over z-z_1},dz + oint_{C_2} {left({z^2 over z-z_1}right) over z-z_2},dz \ \&{}= 2pi ileft({z_1^2 over z_1-z_2}+{z_2^2 over z_2-z_1}right) \ \&{}=2pi i(-2) \ \&{}=-4pi i.end{align}$

Para o cálculo com pontos de singularidades de ordem maior que 1 é necessário um outro teorema chamado teorema dos resíduos que generaliza o método de Cauchy. Só para os curiosos, a fórmula é:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} (a_{k},\gamma )\operatorname {res} (a_{k},f)$

onde:

${\text{ind}}(a_{k},\gamma )$ é o índice de $\gamma$ relativamente a $a_{k}$ ;
${\text{res}}(a_{k},f)$ é o resíduo da função $f$ em $a_{k}$ .

Dá para perceber que é um pouco mais complicada que a fórmula para somente um ponto de singularidade. Mas minha intenção não é ensinar sobre cálculo de funções complexas, uma vez que quase ninguém se interessa por cálculos desse tipo e precisaria de muito mais linhas para ensinar os cálculos acima.
Mas, acredito que podemos transpor o teorema de Cauchy bem como esse teorema dos resíduos para nossas vidas.
Muitas vezes, temos situações que são pontos singulares, ou seja, que não conseguimos sair delas pelos métodos comumentes conhecidos.
E quando isso acontece, sempre é possível ver a situação por outro prisma e talvez ali esteja a resposta para nossas questões.
Ou seja, a visão por outro prisma, pode transforma nossas funções complexas em funções holomorfas, ou em coeficientes de série de Laurent e uma vez visto dessa forma, a situação pode ser resolvida.
Nem sempre a solução do nosso problema está em atacar o problema de forma direta. Muitas vezes e em muitas situações da vida, temos que resolver os problemas isolando os pontos de singularidades, ou seja, desconsiderar os pontos problemáticos por um momento para usá-los no momento certo.
E assim, ao vermos a solução, percebemos que na verdade, os pontos de singularidades são pontos importantes e essenciais a serem usados para a resolução do problema. Mas agora sem medo deles uma vez que nesses pontos a função está definida.
Que aprendamos com a integral de Cauchy e o Teorema dos Resíduos.
E assim podemos ver beleza também nas funções complexas. Sejam as da matemática, sejam as da vida

Fabrício Veliq
12.12.09 15:29

Teorema dos Resíduos e integrais de Cauchy… Quem sabe algo para a vida?

Teorema dos Resíduos e integrais de Cauchy… Quem sabe algo para a vida?

One comment

Deixe um comentário Cancelar resposta